プロジェクトのディレクトリ構成

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├── README.md
├── api // Rails Api
├── doc
├── docker-compose.yml
├── front // Vue.js
|   └── package.json
└── vetur.config.js

api,front でディレクトリを分けており package.json がサブディレクトリにある構成だった。

VSCODE の設定に下記を追加したところ、VSCODE 上で ESLint の問題が検知されるようになりました。

{
  "eslint.workingDirectories": [{ "mode": "auto" }],
}

こちらの記事を参考に解決しました。